Geometria

1. Štúdium afinného priestoru analytickou metódou

(podpriestory - lineárne variety, ich parametrické a všeobecné rovnice, prieniky a vzájomné polohy)

2. Štúdium euklidovského priestoru analytickou metódou

(skalárny súčin vektorov a metrika, kolmosť podpriestorov, vzdialenosti podpriestorov, uhly)

3. Afinné zobrazenia priestorov

(analytické vyjadrenie afinného zobrazenia, invarianty afinných transformácií, grupa zhodností euklidovského priestoru)

4. Axiomatická výstavba geometrie: incidenčná a usporiadaná rovina

(axiómy incidencie a usporiadania a ich dôsledky, modely incidenčnej a usporiadanej roviny.)

5. Axiomatická výstavba geometrie: Hilbertova a euklidovská rovina

(axiómy zhodnosti a ich dôsledky: vety o zhodnosti trojuholníkov, vlastnosti trojuholníka, konštrukcia kolmice a rovnobežky; axióma rovnobežnosti a axiómy spojitosti)

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

1. Matematická indukcia (princíp matematickej indukcie; súvis s dobrým usporiadaním prirodzených čísel; príklady použitia).

2. Holubníkový/Dirichletov princíp (formulácia a niektoré aplikácie).

3. Kombinatorické princípy (sčítací princíp, násobiaci princíp, princíp bijekcie, počítanie dvomi spôsobmi).

4. Binomické koeficienty a binomická veta (definícia a vzorec pre binomické koeficienty a niektoré ich vlastnosti; formulácia binomickej vety).

5. Princíp inklúzie a exklúzie (formulácia a príklady použitia).

6. Pravdepodobnosť, jej základné vlastnosti. Podmienená pravdepodobnosť a nezávislosť udalostí. Veta o úplnej pravdepodobnosti, Bayesova veta.

7. Rozdelenia pravdepodobnosti, ich vlastnosti a charakteristiky (distribučná funkcia, hustota, stredná hodnota, disperzia). Špeciálne typy rozdelení (alternatívne, binomické, geometrické, exponenciálne, normálne). Centrálna limitná veta.

8. Deskriptívna štatistika (charakteristiky polohy a variability). Bodové odhady (náhodný výber; odhady strednej hodnoty a disperzie a ich vlastnosti).

9. Intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu. Testovanie hypotéz, jednovýberové testy o strednej hodnote.

Algebra a teoretická aritmetika

1. Lineárne zobrazenia a ich matice, súčin matíc, inverzné matice.

2. Vektorové priestory a podpriestory, lineárne kombinácie vektorov, lineárne zobrazenia.

3. Konečnorozmerné vektorové priestory, báza a dimenzia konečnorozmerného vektorového priestoru.

4. Systémy lineárnych rovníc, existencia riešenia nehomogénneho systému lineárnych rovníc, štruktúra množiny riešení homogénneho systému lineárnych rovníc.

5. Deliteľnosť v obore celých čísel. Veta o delení so zvyškom. Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel. Euklidov algoritmus pre výpočet najväčšieho spoločného deliteľa.

6. Prvočísla, ich vlastnosti, veta o rozklade prirodzeného čísla na súčin prvočísel. Číselné sústavy.

7. Kongruencie, kritériá deliteľnosti prirodzených čísel vyjadrených v dekadickej sústave, Eulerova veta, malá Fermatova veta.

Matematická analýza

1. Limita postupnosti a funkcie, základné vety o limitách.

2. Spojitosť, vlastnosti spojitých funkcií na intervaloch, optimalizácia - hľadanie globálnych extrémov spojitých funkcií na uzavretých intervaloch, vzťah medzi spojitosťou a diferencovateľnosťou funkcie.

3. Derivácia funkcie, Lagrangeova veta o strednej hodnote a jej použitie pri vyšetrovaní monotónnosti funkcií, nutné a postačujúce podmienky existencie lokálnych extrémov diferencovateľných funkcií.

4. Aproximácia diferencovateľnej funkcie polynómami, rovnica dotyčnice, rovnica Taylorovho polynómu n-tého stupňa.

5. Neurčitý integrál a primitívna funkcia, základné integračné vzorce, metóda per partes a substitúcie.

6. Riemannov integrál, definícia a výpočet, heuristické odvodenie vzorcov pre výpočet plošného obsahu, dĺžky krivky, objemu rotačného telesa a povrchu rotačného telesa.

Skúška z predmetu 1-UMA-951/15 Základy matematiky má dve časti:

A) Test zo školskej matematiky

V teste sú použité typy úloh z testov z matematiky pre externú časť maturitnej skúšky a z testov z matematiky na prijímacích skúškach na FMFI UK, celkom 20 úloh s krátkou odpoveďou alebo s výberom z viacerých možností.

B) Ústna odpoveď

Študent si vyžrebuje zadanie, ktoré má 3 časti – tri rôzne okruhy z okruhov

1. geometria, 2. kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika, 3. algebra a teoretická aritmetika, 4. matematická analýza.

Každá časť obsahuje

- úlohu z príslušného okruhu, ktorej riešenie (vrátane zdôvodnenia jednotlivých krokov) študent predvedie počas ústnej odpovede,

- vymedzenie oblasti príslušného okruhu, ktorá súvisí s riešenou úlohou; v ústnej odpovedi študent uvedie základné pojmy a tvrdenia tejto oblasti, prípadne ich vzťah k riešenej úlohe.

Maximálne počty bodov:

•20 bodov z testu zo školskej matematiky (za každú správnu odpoveď 1 bod),

•25 bodov za každú z troch častí zadania (10 za riešenie úlohy, 15 za teoretickú časť),

teda celkom maximálne 20 + 3.25 = 95 bodov.

Študent absolvuje predmet, ak získa minimálne 5 bodov za každú z troch častí zadania a celkovo získa aspoň 46 bodov.

slovenský, anglický

0/100

Štátna skúška z vybraných oblastí predmetov jadra programu.