A01 Rotačné plochy. Základné konštrukcie na rotačných plochách (rez rovinou, prieniky dvoch rotačných plôch, osvetlenie).

A02 Technické osvetlenie rotačných plôch.

A03 Rotačné kvadratické plochy. Základné úlohy na rotačných kvadratických plochách.

A04 Skrutkovica a jej vlastnosti. Konštrukcia dotyčnice, oskulačnej roviny a stredu krivosti v zobrazovacích metódach.

A05 Kvadratické plochy, definícia, ich vytvorenie, základné vlastnosti. Priamkové a nepriamkové plochy, ich afinná klasifikácia (elipsoidy, paraboloidy, hyperboloidy). Základné úlohy na hyperbolickom paraboloide a jednodielnom hyperboloide. Vlastnosti rotačného jednodielneho hyperboloidu.

A06 Rozvinuteľné priamkové plochy, ich určenie a využitie v technickej praxi. Rozvinuteľná priamková skrutková plocha. Jej vytvorenie, vlastnosti a rozvinutie do roviny. Rovinné rezy rozvinuteľnej priamkovej skrutkovej plochy.

A07 Nerozvinuteľné priamkové plochy. Chaslesova veta a jej využitie (konoidy, skrutkové plochy). Dotykové roviny nerozvinuteľných priamkových plôch. Metódy konštrukcie dotykovej roviny v bode plochy.

A08 Skrutkové plochy. Priamkové a cyklické skrutkové plochy. Priamy skrutkový konoid.

A09 Nepriamkové plochy technickej praxe (klinové, súčtové, cyklické). Základné vlastnosti a príklady ich využitia.

A10 Matematické reprezentácie kriviek a plôch, záplata plochy, izoparametrické čiary, okraje plochy, rohové body.

A11 Hermitov a Bézierov jednoduché oblúk, ich vlastnosti a algoritmy vyčísľovania.

A12 Podmienky spojitosti pri vytváraní splajnových kriviek.

A13 Hermitove kubické splajny, vytvorenie, vlastnosti, príklady ukončenia.

A14 Kardinálny splajn, opis segmentu, tvarovací parameter a príklady ukončenia splajnu.

A15 B-splajnové krivky, uzlová postupnosť, konštrukcia, modelovanie B-splajnových kriviek.

A16 Beta splajnové krivky, podmienky spojitosti, vlastnosti segmentu, modelovanie krivky.

A17 Konštrukcia racionálnych kriviek, racionálne Bézierove krivky a ich modelovanie.

A18 Plochy určené okrajom – Coonsove záplaty. Vytvorenie a matematický opis priamkových, bilineárnych a bikubických záplat.

A19 Bézierove a B-splajnové bikubické záplaty, vlastnosti plochy, izoparametrické čiary, okrajové čiary, rohové body.

A20 Torzia krivky. Frenetove vzorce.

A21 Singulárne body rovinných kriviek.

A22 Prvá základná forma plochy a určenie dĺžok, uhlov a obsahov na ploche.

A23 Dupinova indikatrix a združené smery v dotykovej rovine plochy.

A24 Hlavné smery a hlavné krivosti plochy, Weingartenovo zobrazenie.

A25 Gaussova krivosť plochy.

A26 Ideály v komutatívnych okruhoch (špeciálne v okruhoch polynómov).

A27 Algebraické variety (afinné, projektívne). Asociovaný ideál algebraickej variety.

A28 Radikál ideálu. Hilbertova Nullstellensatz.

A29 Zariského topológia. Rozklad algebraickej variety na ireducibilné komponenty.

A30 Súradnicový okruh variety. Morfizmy a racionálne zobrazenia variet.

A31 Usporiadania monómov v okruhu polynómov. Deliaci algoritmus, Gröbnerova báza ideálu.

A32 Výpočty v algebraickej geometrii, využitie Gröbnerovej bázy a rezultantov (porovnanie variet, eliminácia ideálu).

B01 Uplatnenie didaktických zásad vo výučbe deskriptívnej geometrie.

B02 Usporiadanie učiva a tvorba učebných osnov predmetu Deskriptívna geometria.

B03 Aplikácie metód vyučovacieho procesu v deskriptívnej geometrii.

B04 Špecifiká metódy riešenia úloh v deskriptívnej geometrii (úplné riešenie, konštrukčné úlohy).

B05 Súčasti a nástroje rozvíjania priestorovej predstavivosti.

B06 Rozvíjanie logického myslenia. Úplné triedenie s ukážkami v deskriptívnej geometrii.

B07 Pojmotvorný proces vo výučbe deskriptívnej geometrie (axiómy, definície, vety).

B08 Funkcia a techniky dôkazu v deskriptívnej geometrii.

B09 Organizačné formy vyučovacieho procesu deskriptívnej geometrie na školách.

B10 Deskriptívna geometria a moderné prostriedky vyučovacieho procesu.

Skúška: ústna

slovenský, anglický

Otázky štátnej skúšky sú sumarizujúce poznatky z predmetov Didaktika deskriptívnej geometrie, Plochy technickej praxe, Algebraická geometria, Diferenciálna geometria a Počítačová geometria.

0/100

Absolvent preukáže nadhľad nad vedomosťami získanými v bloku predmetov Teoretický základ deskriptívnej geometrie a aplikácie.

1. Logika a množiny

Logika (výroky, operácie s výrokmi, logické spojky a kvantifikátory), množiny (počet prvkov zjednotenia dvoch a troch množín, De Morganove vzorce pre doplnok zjednotenia a prieniku), dôkazy a úsudky (priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz sporom, matematická indukcia, modus ponens, modus tollens).

2. Čísla, premenné, číselné obory

Binomická veta a Pascalov trojuholník, odvodenie vzorcov a^n-b^n (vrátane geometrickej interpretácie pre n=2 a n=3).

3. Teória čísel

Počet prvočísel, súvis najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel, prvočíselný rozklad a počet deliteľov čísla, iracionalita odmocniny z prvočísla, odvodenie kritérií deliteľnosti 4, 5, 10, 100, 3, 6, 9.

4. Rovnice, nerovnice a ich sústavy

Geometrická interpretácia sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi, podmienky pre existenciu riešení, ekvivalentné a neekvivalentné úpravy a ich súvis so základnými vlastnosťami funkcií.

5. Funkcia a jej vlastnosti

Základné transformácie grafov funkcií, definície základných vlastností funkcií (definičný obor, obor hodnôt, rast a klesanie, extrémy a lokálne extrémy – ostré a neostré, príklady), inverzná funkcia a jej graf.

6. Lineárna a kvadratická funkcia

Význam koeficientov k a q v predpise lineárnej funkcie y=kx+q, geometrický význam smernice, kvadratická funkcia (odvodenie vzťahu pre výpočet koreňov, súradnice vrcholu paraboly, Vietove vzťahy pre súčet a súčin koreňov rovnice, riešenie úloh na maximum a minimum pomocou úpravy na úplný štvorec).

7. Aritmetická a geometrická postupnosť, nekonečný (geometrický) rad

Odvodenie základných vzťahov.

8. Mnohočleny, mocninové funkcie a lineárna lomená funkcia

Koreňové činitele a ich súvis s koreňmi polynomickej rovnice, odmocniny ako inverzné funkcie k mocninovým funkciám, definícia racionálnej mocniny kladného čísla, lineárna lomená funkcia (odvodenie rovníc asymptot a podmienky, prečo ad ≠bc).

9. Exponenciálne a logaritmické funkcie

Exponenciálne funkcie (definícia mocniny pre prirodzený, celočíselný a racionálny exponent, základné vlastnosti exponenciálnej funkcie a ich zdôvodnenie, jednoduché a zložené úrokovanie, pravidelné vklady a výbery, splátka pôžicky), definícia logaritmu, pravidlá pre počítanie s logaritmami a ich súvis s vlastnosťami exponenciálnej funkcie, vzťahy medzi logaritmami s rôznym základom.

10. Goniometrické funkcie

Definícia goniometrických funkcií v pravouhlom trojuholníku a pomocou jednotkovej kružnice a ich vzájomný vzťah, hodnoty goniometrických funkcií pre základné uhly, súčtové vzorce, vzorce pre dvojnásobný a polovičný uhol, vzťahy pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií.

11. Trojuholník

Zhodnosť a podobnosť trojuholníkov, Pytagorova a Euklidove vety, rôzne vzťahy pre obsah trojuholníka (Heronov vzorec, cez sin uhla, polomer vpísanej a opísanej kružnice), odvodenie tvrdení o priesečníkoch osí uhlov, osí strán, ťažníc, výšok, sínusová a kosínusová veta.

12. Rovnobežníky a lichobežník

Odvodenie vzorcov pre obsahy rovnobežníkov a lichobežníka, odvodenie niektorých ich vlastností (priamka spájajúca stredy základní prechádza priesečníkom priamok, na ktorých ležia "ramená" a tiež priesečníkom uhlopriečok, osi uhlov rovnobežníka tvoria vnútri rovnobežníka pravouholník,

uhlopriečky štvoruholníka so stranami a, b, c, d sú na seba kolmé práve vtedy, keď a2 + c2 = b2 + d2).

13. Kružnica a kruh

Vzorec pre obsah kruhového výseku a odseku, veľkosť uhla v stupňoch a v radiánoch, stredový a obvodový uhol, Tálesova veta, odhad čísla π pomocou vpísaných a opísaných n-uholníkov, súvis s goniometrickými funkciami.

14. Analytická geometria v rovine a v priestore

Vektory a operácie s nimi, skalárny súčin a jeho súvis s uhlom dvoch vektorov, analytické vyjadrenie priamky a roviny, rôzne rovnice priamky, odvodenie súradníc stredu úsečky a bodu rozdeľujúceho úsečku v danom pomere, ťažisko trojuholníka, veľkosť úsečky, odvodenie vzorca pre vzdialenosť bodu od priamky a od roviny, uhol dvoch priamok (pomocou skalárneho súčinu, pomocou smerníc), uhol priamky a roviny, normálový vektor.

15. Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie

Odvodenie „základných“ množín bodov daných vlastností (vrátane množiny bodov, z ktorých vidno úsečku pod daným uhlom).

16. Kužeľosečky

Definície kužeľosečiek (kružnica, elipsa, hyperbola a parabola) ako množín bodov daných vlastností a odvodenie ich rovníc.

17. Zhodné a podobné zobrazenia, konštrukčné úlohy

Príklady konštrukčných úloh riešených kombináciou výpočtu a konštrukcie, využitie množín bodov daných vlastností v konštrukčných úlohách, príklady konštrukčných úloh riešených použitím zhodných a podobných zobrazení.

18. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

Základné vlastnosti rovnobežného premietania, náznak ich zdôvodnenia, lineárna perspektíva a jej základné vlastnosti, vrstevnice a ich základné vlastnosti.

19. Lineárne útvary v priestore − polohové úlohy

Využitie základných tvrdení o priesečníkoch dvojice rovnobežných rovín s ďalšou rovinou pri zostrojovaní rezov telies rovinou.

20. Telesá

Cavalieriho princíp a jeho použitie napr. na výpočet objemu gule, vzorec na výpočet objemu ihlanov a kužeľov, myšlienka zdôvodnenia vzorca pre povrch gule.

21. Kombinatorika

Kombinatorické identity, základné kombinatorické pravidlá (súčtu, súčinu), typické príklady ich použitia, odvodenie vzorcov pre počet variácií, kombinácií, permutácií (aj s opakovaním), kombinatorické odvodenie základných vzťahov v Pascalovom trojuholníku (súmernosť, súčet vedľajších prvkov).

22. Pravdepodobnosť

Štatistická a Laplaceova definícia pravdepodobnosti, závislé a nezávislé udalosti, výpočet pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti, geometrická pravdepodobnosť a príklad jej použitia.

23. Štatistika

Štatistický súbor a miery polohy (modus, medián, stredná hodnota), základné vlastnosti aritmetického priemeru (súčet odchýlok od priemeru sa rovná 0), rôzne možnosti opisu „rozptýlenosti“ súboru, Čebyševova nerovnosť.

slovenský, anglický

Štátna záverečná skúška v rozsahu magisterského štúdia didaktiky matematiky. Študent má byť schopný zaradiť úlohu do tematického celku, identifikovať prekoncepty a potrebné vedomosti na jej riešenie, určiť zručnosti, ktoré sa na nej žiak naučí, resp. koncepty, ktoré umožňuje objaviť. Študent predvedie vzorové riešenie, poukáže na problematické miesta v riešení, s ktorými by mohli mať žiaci problémy a ako by na ne ako učiteľ reagoval. Študent by mal po doriešení úlohy načrtnúť aktivity, ktoré by nasledovali a ako by vyučovaciu hodinu uzavrel.

0/100

Absolvent bude pripravený plniť úlohy kladené na začínajúceho učiteľa matematiky.