Zorientovať poslucháčov v najnovších poznatkoch z biomatematiky.

A primer on mathematical models in biology / Lee A. Segel, Leah Edelstein-Keshet. Philadelphia, Pa. : Society for Industrial and Applied Mathematics, 2013

Mathematical biology : 1. : An introduction / J. D. Murray. New York : Springer, 2002

Mathematical biology : 2. : Spatial models and biomedical applications / J. D. Murray. New York : Springer, 2003

Nonlinear dynamics and chaos : with applications to physics, biology, chemistry, and engineering / Steven H. Strogatz. Cambridge : Perseus Books, 1994

2-MAT-111 Dynamické systémy OR 2-MAT-112 Parciálne diferenciálne rovnice (1) OR 2-MAT-121 Parciálne diferenciálne rovnice (2)

samostatná práca

Priebežné hodnotenie: samostatná práca

Skúška: skúška a projekt

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Princípy matematického modelovania, ciele modelovania, zostavenie modelu, simulácie modelu, výber parametrov, nedimenzionalizácia, testovanie robustnosti modelu, analýza výsledkov. Biochemická kinetika, enzymatické reakcie, kooperativita, kvazistacionárna aproximácia. Epidemiologické modely. Dynamika na neurónových a iných bunkových membránach, Hodgkin-Huxleyho model, Fitzhugh-Nagumov model.

50/50

Študenti sa oboznámia s teóriou a technikami používanými v súčasnom výskume problémov v matematickej biológii a vo všeobecnosti v matematických modeloch v prírodných a sociálnych vedách. Zároveň si študenti vyskúšajú prácu na samostatnom projekte z tejto oblasti. Taktiež získajú nové poznatky z populačných modelov, chemickej kinetiky a bunkovej biológie.

skúška

D. J. Acheson: Elementary Fluid Dynamics, Oxford, Clarendon Press, 1990

G. K. Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 2000

P. Guba: Dynamika tekutín, skriptá, FMFI UK, 2021

Priebežné hodnotenie počas semestra má váhu 30% (domáce úlohy 20%, bonusové príklady 10%). Dve semestrálne písomky majú spolu váhu 70% (prvá písomka v polovici semestra, druhá písomka na konci semestra). Študent musí získať aspoň polovicu bodov z každej semestrálnej písomky. Výsledné hodnotenie je možné upraviť formou ústnej skúšky (teoretické otázky, písomná príprava).

Známkovanie: A (100-91), B (90-81), C (80-71), D (70-61), E (60-51), FX (50-0)

slovenský, anglický

Pohybové rovnice pre ideálnu kvapalinu. Definícia vírovosti. Nevírový tok. Rovnica pre vírovosť.

Pohybové rovnice pre viskóznu kvapalinu. Príklady jednoduchých viskóznych tečení. Tečenia s kruhovými prúdočiarami.

Konvekcia a difúzia vírovosti. Gravitačné vlny. Disperzia a grupová rýchlosť. Efekty povrchového napätia a kapilárne vlny.

Vnútorné gravitačné vlny. Vlny s konečnou amplitúdou. Hydraulické skoky a nárazové vlny. Viskózne nárazové vlny a solitárne vlny.

Kelvinova--Helmholtzova nestabilita. Tepelná konvekcia. Centrifugálna nestabilita. Stabilita strižného prúdenia. Všeobecná teoréma o stabilite viskózneho prúdenia. Jednoznačnosť ustáleného viskózneho prúdenia.

Prechod k turbulencii.

30/70

Naučiť poslucháčov odvodenie a analýzu základných rovníc popisujúcich prúdenie tekutín.

E. J. Hinch: Perturbation Methods, Cambridge University Press, 1991

J. Kevorkian, J. D. Cole: Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Springer, 1996

Priebežné hodnotenie počas semestra má váhu 30% (domáce úlohy 20%, bonusové príklady 10%). Dve semestrálne písomky majú spolu váhu 70% (prvá písomka v polovici semestra, druhá písomka na konci semestra). Študent musí získať aspoň polovicu bodov z každej semestrálnej písomky. Výsledné hodnotenie je možné upraviť formou ústnej skúšky (teoretické otázky, písomná príprava).

Známkovanie: A (100-91), B (90-81), C (80-71), D (70-61), E (60-51), FX (50-0)

slovenský, anglický

Algebraické rovnice: Metóda postupných iterácií. Algebraické rovnice: Metóda rozvoja. Singulárne perturbácie a reškálovanie. Logaritmické Poincarého rozvoje. Konvergencia a asymptotickosť. Asymptotická aproximácia integrálov. Watsonova lema. Metóda najstrmšieho spádu. Regulárne poruchové problémy v diferenciálnych rovniciach. Singulárne poruchové problémy v diferenciálnych rovniciach. Metóda zviazaných asymptotických rozvojov. Metóda viacerých škál. WKBJ metóda. Poincarého—Lindstedtova metóda. Polomer konvergencie a Domb—Sykesove grafy.

30/70

Podať prehľad základných asymptotických metód pre riešenie algebraických a diferenciálnych úloh v aplikovanej matematike.

An Introduction to Probability Theory and its Applications : Vol. 1 / Wiliam Feller. Bodmin : Cornwell university, 1950

Probability and random processes / Geoffrey R. Grimmett, David R. Stirzaker. Oxford : Oxford University Press, 2001

Probabilistic graphical models : Principles and techniques / Daphne Koller, Nir Friedman. Cambridge, Mass. : MIT Press, 2009

Priebežné hodnotenie: test

Skúška: písomná skúška

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Pravdepodobnosť, asymptotické odhady, modely náhodných grafov, evolúcia náhodných grafov, štrukturálne a metrické vlasnosti náhodných grafov a náhodných Booleovských funkcií.

0/100

Pochopenie a zvládnutie kombinatoricko-pravdepodobnostných metód, získanie zručnosti na určenie pravdepodobnosti istých udalostí, výpočtu stredných hodnôt a disperzií niektorých pomocných parametrov zavedených náhodných premenných a určenie hodnôt hlavných parametrov, pre aplikáciu Markovovej a Čebyševovej nerovnosti, použitie Martingálov a Lovászovej lokálnej lemy, pochopenie vzťahov rôznych modelov náhodných grafov ako aj iných náhodných systémov, napríklad náhodných Booleovských funkcií.

Zoznámiť poslucháča so základnými poznatkami o vnoreniach grafov do plôch a s moderným technickým aparátom potrebným na aktívny vedecký výskum v tejto oblasti matematiky.

Graph theory / Reinhard Diestel. Berlin : Springer, 2005

Gross, Tucker: Topological Graph Theory, Dover 2001

Výber aktuálnych článkov z oblasti.

2-INF-174 Teória grafov OR 1-MAT-460 Teória grafov OR 1-MAT-755 Teória grafov

samostatná práca

Skúška: ústna skúška

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Klasifikácia uzavretých plôch. Bunečné vnorenia a ich reprezentácie. Interpolačné vety. Maximálny rod grafu. Metódy konštrukcie vnorení a výpočet rodu grafu. Planárna šírka vnorení. Vety Kuratowského typu pre uzavreté plochy. Algoritmické aspekty. Symetrie máp a regulárne mapy. Hypermapy.

100/0

Poslucháči sa získajú záklané poznatky o vnoreniach grafov do plôch, osvoja si moderný technický aparát potrebný na aktívny vedecký výskum v tejto oblasti a zoznámia sa s najdôležitejšími výskumnými smermi a otvorenými problémami súčasnej topologickej teórie grafov. Po absolvovaní predmetu budú poslucháči pripravení pre samostatný výskum v tejto oblasti. (Podľa zamerania poslucháčov je možné niektoré témy doplniť alebo rozšíriť.)

skúška

Algorithmics for hard problems : Introduction to combinatorial optimization, randomization, approximation, and heuristics / Juraj Hromkovič. Berlin : Springer, 2003

Skúška: ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Pseudo-polynomiálne algoritmy, parametrická zložitosť, metóda Branch-and-Bound, aproximačné algoritmy, pravdepodobnostné algoritmy, simulované žíhanie, genetické algoritmy.

0/100

Po absolvovaní predmetu študenti budú schopní aplikovať rôzne metódy, ktoré možno za určitých okolností použiť na riešenie ťažkých (aj NP-úplných) problémov.

Algebraic graph theory / Chris Godsil, Gordon Royle. New York : Springer , 2004

Algebraic graph theory / Norman Biggs. Cambridge : Cambridge University Press, 1993

Výber aktuálnych článkov z oblasti.

2-INF-174 Teória grafov OR 1-MAT-460 Teória grafov OR 1-MAT-755 Teória grafov

Skúška: ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Grafy a grupy, Vysoko symetrické grafy, ich kombinatorické a algebraické vlastnosti. Cayleyho grafy. Incidenčné grafy rozličných kombinatorických štruktúr. Grafy a matice. Spektrá grafov. Silne regulárne grafy. Dištančne regulárne grafy. (Podľa zamerania poslucháčov je možné niektoré témy doplniť alebo rozšíriť.)

100/0

Poslucháči získajú základné poznatky z modernej algebraickej teórie grafov a teórie permutačných grúp. Zoznámia sa s najvýznamnejšími výsledkami tak o vysoko symetrických grafoch ako aj o vlastnostiach spektier grafov. Osvoja si najdôležitejsie techniky používané v tejto oblasti a nadobudnú schopnosť samostatne pracovať v tejto oblasti výskumu.

Introduction to parallel algorithms and architectures : Arrays. Trees. Hypercubes / F. Thomson Leighton. USA : Morgan Kaufmann Publishers, Inc., 1992

Communication complexity and parallel computing / Juraj Hromkovič. Berlin : Springer, 1997

Algorithmics for hard problems : Introduction to combinatorial optimization, randomization, approximation, and heuristics / Juraj Hromkovič. Berlin : Springer, 2003

2-INF-174 Teória grafov OR 1-MAT-460 Teória grafov OR 1-MAT-755 Teória grafov

Skúška: ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Grafy v informatike. Priesečníkové čísla a kreslenia grafov, Štrukturálne vlastnosti grafov a zložitosť distribuovaných algoritmov. Grafovo-teoretické modely komunikačných sietí. Modely “realistických” náhodných grafov

0/100

Poslucháči si osvoja poznatky o najdôležitejších aplikáciách teórie grafov v rôznych oblastiach teoretickej informatiky.

Lineárna algebra a geometria : Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov / Pavol Zlatoš. Bratislava : Albert Marenčin, 2011; elektronická verzia dostupná na http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf

Pěstujeme lineární algebru / Luboš Motl, Miloš Zahradník. Praha : Karolinum, 2002

Speciální matice a jejich použití v numerické matematice / Miroslav Fiedler. Praha : Státní nakladatelství technické literatury, 1981

C.W. Curtis, I. Rainer, Representation theory of finite groups and associative algebras, Wiley, 1988

S. Lang, Algebra, Springer 2002

Skúška: ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Špeciálne matice, ich spektrálne vlastnosti a využitie v rôznych oblastiach matematiky. Kombinatorické vlastnosti matíc a ich súvislosť s teóriou grafov. Moduly a algebry nad vybranými typmi okruhov. Maticové grupy, reprezentácie grúp a algebier. Obsah predmetu je možné upraviť podľa požiadaviek školiteľa a záujmu študenta.

100/0

Poslucháč si osvojí niektoré pokročilejšie metódy a výsledky modernej lineárnej algebry a zoznámi sa s ich aplikáciami v iných oblastiach matematiky a v informatike. Tieto metódy bude schopný aktívne použivať vo vlastnom výskume.

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Nilpotentné a riešiteľné grupy. Kombinatorická teória permutačných grúp. Reprezentácie a charaktery konečných grúp. Maticové grupy, reprezentácie grúp a algebier. Topologické grupy. Obsah predmetu je možné upraviť podľa požiadaviek školiteľa a záujmu študenta.

100/0

Poslucháč si osvojí niektoré pokročilejšie metódy a výsledky teórie grúp a zoznámi sa s ich aplikáciami v iných oblastiach matematiky prípadne aj v iných oblastiach vedy. Tieto metódy bude schopný aktívne použivať vo vlastnom výskume.

Graph theory / Reinhard Diestel. Berlin : Springer, 2005

Graph theory / J. A. Bondy, U. S. R. Murty. [s.l.] : Springer, 2008

Modern graph theory / Béla Bollobás. New York : Springer, 1998

Introduction to graph theory / Douglas B. West. Upper Saddle River : Prentice-Hall, 2001

Výber aktuálnych článkov z oblasti.

2-INF-174 Teória grafov OR 1-MAT-460 Teória grafov OR 1-MAT-755 Teória grafov

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Základy. Párenia a pokrytia. Súvislosť. Farbenia. Toky. Hamiltonovské grafy. Grafy na plochách. Faktorizácia. Extremálne problémy. Obsah predmetu je možné upraviť podľa požiadaviek školiteľa a záujmu študenta.

100/0

Študent sa zoznámi s najnovšími výsledkami, metódami a výskumnými trendami v teórii grafov a osvojí si najdôležitejšie dôkazové techniky používané v tejto oblasti. Po absolvovaní tohto predmetu bude pripravený na samostatnú výskumnú prácu v teórii grafov.

1. S. Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer, 2013

2. M. F. Atiyah, I. G. MacDonald: Introduction to commutative algebra: Advanced book program.Oxford : Westview, 1969

3. D. Eisenbud: Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. New York: Springer,2004

4. H.Matsumura: Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1989

Priebežné hodnotenie (písomné vyhotovenie a konzultácia úloh 50%), záverečné hodnotenie (ústna odpoveď s písomnou prípravou 50%). Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Komutatívne okruhy a moduly. Teória noetherovských okruhov. Integrálne rozšírenia okruhov. Rozšírenia a zúženia koeficientov. Homologické metódy: Ext a Tor.

Váha priebežného / záverečného hodnotenia: 50/50

Doktorand si osvojí vybrané metódy modernej komutatívnej algebry a bude schopný ich aplikovať v iných disciplínach, najmä v oblasti algebraickej geometrie.

v nadväznosti na magisterský kurz algebraickej topológie rozpracovanie teórie homológií a kohomológií na vyššej úrovni.

Topology and geometry / Glen E. Bredon. New York : Springer, 1993

Algebraic topology / Edwin H. Spanier. New York : Springer, 1966

Algebraic topology / Allen Hatcher. New York : Cambridge University Press, 2001

Skúška: písomná a ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Homológie a kohomológie, vety o univerzálnych koeficientoch, Kuennethova formula, súčiny, Steenrodove kohomologické operácie, dualita.

0/100

Doktorandi si absolvovaním tohto predmetu osvoja teórie homológií a kohomológií na vyššej úrovni, v porovnaní s magisterským kurzom algebraickej topológie. Budú schopní riešiť stredne ťažké až veľmi ťažké topologické problémy.

skúška