Interior point methods for linear optimization / Cornelis Roos, Tamás Terlaky, Jean-Philippe Vial. New York : Springer, 2006

Convex optimization / Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Cambridge : Cambridge University Press, 2004

Časopisecká literatúra podľa ktuálneho výberu vyučujúcej

1-EFM-220 Lineárne programovanie OR 1-EFM-320 Nelineárne programovanie

Priebežné hodnotenie: samostatná práca, spracovanie projektu

Skúška: písomná, ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

História vzniku metód vnútorného bodu a ich význam optimalizáciu. Úlohy lineárneho programovania a základné predpoklady. Súvis existencie vnútorného bodu a ohraničenosti množiny optimálnych riešení. Centrálna trajektória a jej vlastnosti. Charakterizácia množín optimálnych riešení pomocou optimálneho rozkladu. Analytický stred množiny. Kategorizácia algoritmov metód vnútorného bodu. Algoritmy sledovania centrálnej trajektórie, formulácia, analýza, dôkaz konvergencie a odhad polynomiálnej zložitosti. Implementácia algoritmov.

30/70

Študent ovláda základy teórie a algoritmov metód vnútorného bodu v lineárnom programovaní, orientuje sa v nových výsledkoch, trendoch a otvorených problémoch v danej oblasti.

Analytical and numerical methods for pricing financial derivatives / Daniel Sevcovic, Beáta Stehlíková, Karol Mikula. New York : Nova Science, 2011

Kapitoly z finančnej matematiky / Igor Melicherčík, Ladislava Olšarová, Vladimír Úradníček. Bratislava : EPOS, 2005

Nonlinear models in mathematical finance: : New research trends in option pricing / Matthias Ehrhardt, editor. New York : Nova Science, 2008

Priebežné hodnotenie: samostatná práca, vypracovanie projektu

Skúška: písomka, ústna skúška

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Jedno a viac faktorové modely vývoja hodnôt aktív, indexov a úrokovej sadzby.

Využitie Black-Scholesovej teória na oceňovanie derivátov aktív.

Zahrnutie rizika do Black-Scholesovho moelu. Nelineárne parabolické PDR ako model oceňovania derivátov s uvažovaním rizika.

Kalibrácia modelov a odhad parametrov na základe porovnania s reálnymi dátami.

Stochastické dynamické programovanie. Dynamická optimalizácia portfólia a Hamilton-Jacobi-Bellmanova rovnica. Analytické a numerické metódy jej rieśenia.

40/60

Študent si osvojí a získa ucelený pohľad na moderné metódy oceňovania finančných inštrumentov závislých od úrokovej miery (dlhopisy) a iných finančných aktív.

Zorientovať poslucháčov v najnovších a matematicky náročnejších partiách finančnej matematiky.

Kapitoly z finančnej matematiky / Igor Melicherčík, Ladislava Olšarová, Vladimír Úradníček. Bratislava : EPOS, 2005

Analytical and numerical methods for pricing financial derivatives / Daniel Sevcovic, Beáta Stehlíková, Karol Mikula. New York : Nova Science, 2011

samostatná práca

Priebežné hodnotenie: samostatná práca, vypracovanie projektu

Skúška: ústna skúška

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Vybrané modely vývoja úrokových mier (Vašíček, CIR, BGM model)

Viacperiodické modely teórie portfólia. Viacperiódový Markowitzov model s transakčnými nákladmi, dynamický model s maximalizáciou očakávanej užitočnosti.

Oceňovanie derivátov s uvažovaním transakčných nákladov.

Riadenie rizika portfólia. Analýza rôznych mier rizika (VaR, CVaR, ES, LEL a ďalšie)

60/40

Študenti absolvovaním predmetu získajú vedomosti z najnovších a matematicky náročnejších partií finančnej matematiky.

skúška

Zorientovať poslucháčov v najnovších poznatkoch z biomatematiky.

A primer on mathematical models in biology / Lee A. Segel, Leah Edelstein-Keshet. Philadelphia, Pa. : Society for Industrial and Applied Mathematics, 2013

Mathematical biology : 1. : An introduction / J. D. Murray. New York : Springer, 2002

Mathematical biology : 2. : Spatial models and biomedical applications / J. D. Murray. New York : Springer, 2003

Nonlinear dynamics and chaos : with applications to physics, biology, chemistry, and engineering / Steven H. Strogatz. Cambridge : Perseus Books, 1994

2-MAT-111 Dynamické systémy OR 2-MAT-112 Parciálne diferenciálne rovnice (1) OR 2-MAT-121 Parciálne diferenciálne rovnice (2)

samostatná práca

Priebežné hodnotenie: samostatná práca

Skúška: skúška a projekt

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Princípy matematického modelovania, ciele modelovania, zostavenie modelu, simulácie modelu, výber parametrov, nedimenzionalizácia, testovanie robustnosti modelu, analýza výsledkov. Biochemická kinetika, enzymatické reakcie, kooperativita, kvazistacionárna aproximácia. Epidemiologické modely. Dynamika na neurónových a iných bunkových membránach, Hodgkin-Huxleyho model, Fitzhugh-Nagumov model.

50/50

Študenti sa oboznámia s teóriou a technikami používanými v súčasnom výskume problémov v matematickej biológii a vo všeobecnosti v matematických modeloch v prírodných a sociálnych vedách. Zároveň si študenti vyskúšajú prácu na samostatnom projekte z tejto oblasti. Taktiež získajú nové poznatky z populačných modelov, chemickej kinetiky a bunkovej biológie.

skúška

Convex optimization / Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Cambridge : Cambridge University Press, 2004

časopisecká literatúra podľa aktuálneho výberu vyučujúcej

2-EFM-117 Konvexná optimalizácia

Študent sa aktívne zúčastňuje kurzu a odprednáša príspevok na dohodnutú tému.

slovenský, anglický

Kónické konvexné programovanie, teória duality v kónickom programovaní. Aplikácie kónického programovania v rozličných oblastiach optimalizácie. Teória metód vnútorného bodu (MVB) v kónickom programovaní, algoritmy MVB pre veľkorozmerné kónické úlohy, kónické relaxácie.

100% /0

Študent má poznatky o nových oblastiach konvexnej optimalizácie a o najmodernejších prístupoch k riešeniu takýchto úloh. Zorientuje sa v základných výsledkoch, trendoch a otvorených problémoch v danej oblasti.

D. J. Acheson: Elementary Fluid Dynamics, Oxford, Clarendon Press, 1990

G. K. Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 2000

P. Guba: Dynamika tekutín, skriptá, FMFI UK, 2021

Priebežné hodnotenie počas semestra má váhu 30% (domáce úlohy 20%, bonusové príklady 10%). Dve semestrálne písomky majú spolu váhu 70% (prvá písomka v polovici semestra, druhá písomka na konci semestra). Študent musí získať aspoň polovicu bodov z každej semestrálnej písomky. Výsledné hodnotenie je možné upraviť formou ústnej skúšky (teoretické otázky, písomná príprava).

Známkovanie: A (100-91), B (90-81), C (80-71), D (70-61), E (60-51), FX (50-0)

slovenský, anglický

Pohybové rovnice pre ideálnu kvapalinu. Definícia vírovosti. Nevírový tok. Rovnica pre vírovosť.

Pohybové rovnice pre viskóznu kvapalinu. Príklady jednoduchých viskóznych tečení. Tečenia s kruhovými prúdočiarami.

Konvekcia a difúzia vírovosti. Gravitačné vlny. Disperzia a grupová rýchlosť. Efekty povrchového napätia a kapilárne vlny.

Vnútorné gravitačné vlny. Vlny s konečnou amplitúdou. Hydraulické skoky a nárazové vlny. Viskózne nárazové vlny a solitárne vlny.

Kelvinova--Helmholtzova nestabilita. Tepelná konvekcia. Centrifugálna nestabilita. Stabilita strižného prúdenia. Všeobecná teoréma o stabilite viskózneho prúdenia. Jednoznačnosť ustáleného viskózneho prúdenia.

Prechod k turbulencii.

30/70

Naučiť poslucháčov odvodenie a analýzu základných rovníc popisujúcich prúdenie tekutín.

E. J. Hinch: Perturbation Methods, Cambridge University Press, 1991

J. Kevorkian, J. D. Cole: Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Springer, 1996

Priebežné hodnotenie počas semestra má váhu 30% (domáce úlohy 20%, bonusové príklady 10%). Dve semestrálne písomky majú spolu váhu 70% (prvá písomka v polovici semestra, druhá písomka na konci semestra). Študent musí získať aspoň polovicu bodov z každej semestrálnej písomky. Výsledné hodnotenie je možné upraviť formou ústnej skúšky (teoretické otázky, písomná príprava).

Známkovanie: A (100-91), B (90-81), C (80-71), D (70-61), E (60-51), FX (50-0)

slovenský, anglický

Algebraické rovnice: Metóda postupných iterácií. Algebraické rovnice: Metóda rozvoja. Singulárne perturbácie a reškálovanie. Logaritmické Poincarého rozvoje. Konvergencia a asymptotickosť. Asymptotická aproximácia integrálov. Watsonova lema. Metóda najstrmšieho spádu. Regulárne poruchové problémy v diferenciálnych rovniciach. Singulárne poruchové problémy v diferenciálnych rovniciach. Metóda zviazaných asymptotických rozvojov. Metóda viacerých škál. WKBJ metóda. Poincarého—Lindstedtova metóda. Polomer konvergencie a Domb—Sykesove grafy.

30/70

Podať prehľad základných asymptotických metód pre riešenie algebraických a diferenciálnych úloh v aplikovanej matematike.

Miera a integrál / Tibor Neubrunn, Beloslav Riečan. Bratislava : Veda, 1981

Skúška: ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Absolútna spojitosť a dominovanosť zovšeobecnených mier, Radonova-Nikodymova veta, Abstraktná definícia podmienenej pravdepodobnosti a podmienenej strednej hodnoty, Podmienená distribučná funkcia a hustota, Martingálová konvergenčná veta, Kompaktnosť a sigma-aditivita miery, Kolmogorova veta, Súčin mier, Individuálna ergodická veta, Ergodické transformácie.

0/100

Po absolvovaní predmetu budú študenti schopní používať pokročilý aparát teórie pravdepodobnosti založený na abstraktnej teórii miery.

Modely v životnom a neživotnom poistení / Rastislav Potocký. Bratislava : Statis, 2012;

Mathematical Methods in Risk Theory / Hans Bühlmann. New York : Springer, 1996;

Modern Actuarial Risk Theory Using R / Rob Kaas, Marc Goovaerts, Jan Dhaene, Michel Denuit. Second Edition, Heidelberg : Springer-Verlag, 2008;

Insurance Risk and Ruin / David C. M. Dickson. First Edition, New York : Cambridge University Press, 2005;

Non-Life Insurance Mathematics / Thomas Mikosch. Second Edition, Heidelberg : Springer-Verlag, 2009.

V rámci priebežného hodnotenia môže študent získať 100 % bodov, a to na písomnej previerke, ktorá sa zvyčajne píše na konci semestra.

Stupnica hodnotenia: A: 100,00 % – 90,00 %; B: 89,99 % – 80,00 %; C: 79,99 % – 70,00 %; D: 69,99 % – 60,00 %; E: 59,99 % – 50,00 %; Fx: 49,99 % – 0,00 %.

slovenský, anglický

Rozdelenia pravdepodobnosti malých a veľkých nárokov. Rozdelenia pravdepodobnosti s ťažkým chvostom: subexponenciálne rozdelenia, rozdelenia s dlhými chvostami, regulárne sa meniace rozdelenia, rozdelenia s dominantne sa meniacimi chvostami. Proces rizika v neživotnom poistení. Cramérov-Lundbergov model, Cramérova-Lundbergova veta. Pravdepodobnosť zruinovania poisťovne v konečnom a nekonečnom čase. Zovšeobecnené verzie silného zákona veľkých čísel. Zákon iterovaného logaritmu.

Priebežné hodnotenie 100 % / záverečná skúška 0 %.

Po absolvovaní predmetu získa študent podrobný prehľad o teórii ruinovania a Cramérovom-Lundbergovom modeli. Bude schopný aproximovať pravdepodobnosť zruinovania poisťovne aj v tom prípade, keď rozdelenie výšky nárokov má ťažký pravý chvost. Okrem toho študent bude vedieť aj rôzne zovšeobecnenia silného zákona veľkých čísel, ktoré sa používajú v oblasti neživotného poistenia.

Nonlinear statistical models / Andrej Pázman. Bratislava Dodrecht : Ister Science Press : Kluwer Academic Publishers, 1993

Skúška: ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Exponenciálne triedy rozdelení pravdepodobnosti, minimálna reprezentácia, klasifikácia exponenciálnych tried, triedy marginálnych a podmienených rozdelení. Zovšeobecnené lineárne modely (napríklad logistická regresia). Geometria exponenciálnych tried, ich I-divergencia a Fisherova informačná matica. Asymptotické vlastnosti odhadov. Kritériá pre optimálne navrhovanie experimentov.

0/100

Po absolvovaní predmetu budú študenti schopní samostatne študovať n��ročnú odbornú literatúru z oblasti nelineárnych štatistických modelov a riešiť matematickými prostriedkami nové aktuálne úlohy.

Vybrané partie zo simulačných metód.

Ross S: Simulation, Elsevier Academic Press 2006

Fishman GS: Monte Carlo: Concepts, Algorithms and Applications, Springer 1996

Vybrané vedecké články

Samostatná práca

Priebežné hodnotenie: projekty

Skúška: ústna

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Vybrané metódy generovania realizácií náhodných vektorov a náhodných procesov (rovnomerné a nerovnomerné generovanie na povrchu mnohorozernej gule a na polyedrických množinách, generovanie základných procesov používaných vo finančnej matematike). Pokročilé metódy redukcie rozptylu a generovanie zriedkavých udalostí.

http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Harman/teaching.htm

50/50

Po absolvovaní predmetu budú študenti schopní používať pokročilé metódy redukcie rozptylu Monte-Carlo odhadov a simulačného generovania realizácií náhodných vektorov a procesov.

Projekt

Iterated maps on the interval as dynamical systems / Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann. Basel : Birkhäuser, 1980

Lectures from Markov processes to Brownian motion / Kai Lai Chung. New York : Springer, 1982

Bhattacharya, Majumdar: Random Dynamical Systems, 2007

Priebežné hodnotenie: písomka počas semestra

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Diskrétny dynamický systém, rôzne prístupy k popisu jeho zložitosti, chaos, topologická entropia, tranzitivita, diskrétny dynamický systém generovaný spojitými zobrazeniami intervalu do seba.

Vznik náhodného dynamického systému: náhodné perturbácie v diskrétnom čase, malé spojité náhodné perturbácie diskrétnych dynamických systémov.

Náhodný dynamický systém ako Markovov proces s diskrétnym časom, vlastnosti takýchto procesov, použitie Perronovho Frobeniovho operátora, stabilita.

Invariantné rozdelenia, hustoty, ergodicita. Postačujúce podmienky pre ergodicitu, Doeblinova veta.

100/0

Študent bude poznať prístup a metódy používané pri náhodnch dynamických systémoch s diskrétnym časom, ktoré možno študovať ako Markovove procesy.

Philosophy of natural science / Carl G. Hempel. Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1966

Mario Bunge: Scientific Research I. The Search for System.

Mario Bunge: Scientific Research II. The Search for Truth.

Priebežné hodnotenie: samostatná práca, vypracovanie projektu

Skúška: písomná, ústna;

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

slovenský, anglický

Postup pri matematickom modelovaní (redukcia reality – formulovanie kvalitatívnej hypotézy – matematická formulácia hypotézy – výber dát – testovanie – štatistická interpretácia testu – kvalitatívna interpretácia testu). Interpretácia parametrov modelov. Hypotézy a overovanie ich platnosti. Zákony v empirických vedách. Spájanie vedeckých zákonov do vedeckých teórií. Aplikácie (najmä v lingvistickom výskume).

40/60

Študenti dostanú základy filozofie vedy a jej aplikácie v matematickom modelovaní. Budú schopní sledovať jednotlivé kroky pri výstavbe modelu. Na príkladoch sa naučia rozoznávať, ktoré jednotky je vhodné voliť pri analýze a modelovaní, akým spôsobom overovať platnosť hypotéz a ako ich integrovať do teórií.

prednášky

Collett, David. Modelling survival data in medical research. CRC press, 2015.

Klein, John P., et al., eds. Handbook of survival analysis. Boca Raton, FL:: CRC Press, 2014.

Broström, G. Event history analysis with R. Chapman and Hall/CRC, 2021

projekt

slovenský, anglický

Cenzúrovanie, funkcia prežívania a funkcia hazardu. Modely s diskrétnym časom

Neparametrické odhady. Kaplanov-Meierov odhad.

Porovnávanie viac súborov dát prežívania. Log-rank test.

Model proporcionálneho rizika. Weibullov model ako model proporcionálneho rizika. Odhady parametrov vo Weibullovom modeli.

Ďalšie rozdelenia používané v analýze prežívania. Log-normálne rozdelenie. Log-logistické rozdelenie. Gompertzov model.

Diagnostika v modeli proporcionálneho rizika. Coxove-Snellove reziduá. Martingálové reziduá.

AFT (accelerated failure time) modely.

Coxov regresný model. Modely s vysvetľujúcimi premennými závislými od času.

Stratifikovaný Coxov model. Modely konkurujúcich rizík.

100/0

Študenti získajú prehľad o vybraných štatistických metódach analýzy prežívania a naučia sa ich aplikovať pri analýze cenzurovaných dát

2 (prednáška)

1. Bohner, M. and Allan Peterson Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications. Birkhauser, 2001.

2. Bohner, Martin, and Allan Peterson. "Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser, 2003

3. Agarwal, Ravi, Donal O'Regan, and Samir Saker. Dynamic inequalities on time scales. Vol. 2014. Cham: Springer, 2014.

Skúška: ústna

Anglický

English

1. Základy kalkulu na časových škálach.

2. Diferenciálny počet funkcie jednej premennej na časových škálach.

3. Integrálny počet funkcie jednej premennej na časových škálach.

4. Úvod do dynamických rovníc na časových škálach základné koncepty, existencia a jednoznačnosť riešení.

5.Úvod do dynamických nerovníc: prehľad základných nerovníc na časových škálach a ich význam.

0/100

Študenti sa naučia základy dynamického počtu na časových škálach s dôrazom na teóriu dynamických rovníc a nerovníc na časových škálach.

2 (cvičenie)

James G., Witten D., Hastie T., Tibshirani R. An introduction to statistical learning: with applications in R, Springer Nature, 2021, 622 strán, ISBN 978-10716114181

Skúška: ústna

Obsahom ústnej skúšky budú jednotlivé témy, ktoré boli odreferované počas semestra.

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

anglický jazyk

Predmet je možné absolvovať dištančnou formou.

Študenti budú prezentovať kratšie časti monografie, preto pre nádväznosť budú potrebovať porozumieť predchádzajúcim častiam. Jednotlivé časti budú nanajvýš v dĺžke jedného stretnutia. V prípade menšieho počtu študentov zapísaných na predmet bude referovať aj vyučujúci.

Tematický plán: koncept klasifikačného modelu, metódy vyhodnocovania modelov, lineárne modely a stromové modely, lineárna diskriminičná analýza (LDA), logistická regresia, inferencia o štatistický modeloch, krížová entropia, metóda podporných vektorov

Váha priebežného / záverečného hodnotenia: 80/20

Priebežné hodnotenie zahŕňa hodnotenie kvality prezentácií ako aj účasť v diskusiách.

Absolvovaním predmetu sa študenti oboznámia s klasifikačnými metódami zo štatistiky a strojového učenia a matematickými princípmi, na ktorých sú založené.

2 (cvičenie)

Odporúčaná literatúra sa každý rok zmení

Pre rok 2025/2026 bude použitá monografia

Krebs M., Shaheen A., Expander families and Cayley Graphs: A beginner’s guide, Oxford University Press, 288 strán, ISBN 978-0199767113

Skúška: ústna

Obsahom ústnej skúšky budú jednotlivé témy, ktoré boli odreferované počas semestra.

Orientačná stupnica hodnotenia: A 90%, B 80%, C 70%, D 60%, E 50%

anglický jazyk

Predmet je možné absolvovať dištančnou formou.

Študenti budú prezentovať kratšie časti monografie, preto pre nádväznosť budú potrebovať porozumieť predchádzajúcim častiam. Jednotlivé časti budú nanajvýš v dĺžke jedného stretnutia. V prípade menšieho počtu študentov zapísaných na predmet bude referovať aj vyučujúci.

Váha priebežného / záverečného hodnotenia: 80/20

Priebežné hodnotenie zahŕňa hodnotenie kvality prezentácií ako aj účasť v diskusiách.

Absolvovaním predmetu sa študenti oboznámia s pokročilými témami z teórie grafov s dôrazom na interdisciplinárnu aplikovateľnosť.

Druh, rozsah a metóda vzdelávacích činností:

Forma výučby: kurz

Odporúčaný rozsah výučby (v hodinách):

Týždenný: 2 Za obdobie štúdia: 26

S. V. Patankar: Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, CRC Press, 2018

F. Moukalled, L. Mangani and M. Darwish: The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics: An Advanced Introduction with OpenFOAM® and Matlab®, Springer,2016

H. K. Versteeg and W. Malalasekera: An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method, Pearson, 2007

2-EFM-107/15 Parciálne diferenciálne rovnice

2-EFM-101/15 Numerické modelovanie

3-MAM-009/15 Modely prúdenia tekutín

Skúška: ústna

Známkovanie: A (100-91), B (90-81), C (80-71), D (70-61), E (60-51), FX (50-0)

slovenský, anglický

Úvod do metódy konečných objemov

1. Diskretizačné schémy pre advekčno-difúzne rovnice (centrálne, upwind a hybridné diferencie) 2. Vlastnosti diskretizačných schém (konzervatívnosť, ohraničenosť a transportívnosť) 3. Algoritmy na riešenie systémov s väzbou tlak–rýchlosť (SIMPLE a PISO algoritmy) 4. Priame a iteračné metódy na riešenie diskretizovaných rovníc (TDMA, Jacobiho a Gaussova–Seidelova metóda) Aplikácie softvéru OpenFOAM® na riešenie problémov dynamiky tekutín 5. Rovnica vedenia tepla 6. Navierove–Stokesove rovnice pre jednofázové nestlačiteľné prúdenie 7. Lid-driven dutinový tok 8. Poiseuillov tok Tvorba mriežky pre zložité geometrie využitím softvéru OpenFOAM® 9. Tok okolo valca. Von Kármánova vírová cesta 10. Jednofázové prúdenie v pórovitom priestore. Skalárny a časticový transport v pórovitom priestore Aplikácie softvéru OpenFOAM® na riešenie problémov finančnej matematiky a biomatematiky 11. Blackova–Scholesova rovnica pre oceňovanie opcií 12. Fisherova–KPP rovnica pre populačnú dynamiku

30/70

Študenti sa zoznámia s metódou konečných objemov na numerické riešenie parciálnych

diferenciálnych rovníc popisujúcich difúzne a advekčné problémy v aplikovanej matematike.